Die Schwarzschild-Lösung
der Allgemeinen Relativitätstheorie

Flüchtige Notizen einer lockeren Übung





Die Minkowsky-Raumzeit

Länge und Eigenzeit auf Weltlinien

Eine Weltlinie ist eine Kurve mit einem be­lie­bigen reellen Parameter σ in der Minkowsky-Raumzeit (M, η):

Der Tangentenvektor an der Kurve ist:

Der Tangentenvektor ist normiert mit κ=1 für zeit­­ar­ti­ge, mit κ=0 für lichtartige und mit κ= -1 für raum­­ar­­ti­ge Kurven.


Die Länge einer raumartigen Kurve ist:

Sie ist unabhängig von der Parametrisierung.

Wählt man einen neuen Parameter mit einer differenzierbaren und umkehrbaren Funktion f, so bleibt die Länge gleich.


Die Eigenzeit für eine zeitartige Kurve ist de­finiert durch:

Durch Differentiation nach der oberen Grenze erhält man:

Aus folgt sofort:

Man kann auch gleich die Eigenzeit als Kur­venparameter wählen:


Killing-Vektorfelder

Die Killing-Vektoren der Minkowsky-Raumzeit sollen in kartesischen Koordinaten bestimmt werden.

Da die Komponenten der Minkowsky-Metrik Konstanten sind, verschwinden die Chri­stof­fel-Symbole alle – daher ist die Kil­ling-Glei­chung ganz einfach:


Mit dem ersten Ansatz erhält man 4 Lösungen:

Mit diesen vier Killing-Vektoren sind vier Er­haltungsgrößen erkannt, Energie und Impuls bleibt erhalten:

Die Integralkurven x(s) zum Vektorfeld X sind diejenigen Kurven im Minkowsk-Viererraum, de­­ren Tangentenvektor im Punkt mit den Koordinaten x(s) der Vektor X|x(s) ist. Die Bewegung ver­­läuft daher in Richtung des Killing-Vektors - und die Geometrie ändert sich im lokalen Um­feld nicht.

Die Integralkurven seien mit einem Parameter s parametrisiert, sie erfüllen die Gleichung:

Und die Lösung ist:

Eine Integralkurve verläuft entlang einer Koordinatenlinie, wobei die anderen Koordinaten konstant bleiben.

Die Raumzeit-Translationen sind also Isometrien der Minkowsky-Welt. Man kann das Ex­pe­ri­ment also auch erst morgen oder im Nachbarraum ausführen, die Messergebnisse werden die­sel­ben sein.


Mit dem zweiten Ansatz erhält man 2*3 wei­tere Lösungen:

Diese Generatoren erzeugen jeweils Ro­ta­tio­nen um die xj-Achse. Jeder Raumzeit-Schnitt (das heißt die Hyperfläche) t=const ist also sphä­­risch-symmetrisch.

Ausgeschrieben in Komponenten erhält man die drei Killing-Vektoren für die Rotationen:

Man kann das Messvorrichtung also auch um 90 Grad drehen, die Messergebnisse werden die­sel­ben sein.


Und hier haben wir die Schub­trans­for­ma­tio­nen ('boosts') entlang der xk-Achse. Aus Raum und Zeit wird die Raumzeit.

Etwa für k=1 mit :

Man erhält dann zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

Und die Integralkurven sind mit ersichtlichen Anfangsbedingungen:

Es gilt:


In linearer, nicht-relativistischer Näherung δs<< 1 erhält man:

Die letzte Gleichnung kann als aktive Be­we­gung eines Teilchens mit der Geschwindigkeit δs aufgefasst werden. Es folgt:


Relativistische Kinematik

Die geodätischen Bahnen in der der Minkowsky-Raumzeit sollen in kartesischen Ko­or­di­na­ten bestimmt werden.

Da die Komponenten der Minkowsky-Metrik Kon­stanten sind, verschwinden die Chris­tof­fel-Symbole alle – daher ist die geodätische Glei­­chung ganz einfach:


Als Zwangsbedingung ist zu erfüllen:

Man erhält die gleichförmigen, geradlinigen Be­wegungen in der Raumzeit, parametrisiert durch noch festzulegenden Parameter.


Ich betrahte nun zeitartige geodätische Kurven. Die Norm der Anfangs-Vierer-Geschwindigkeit soll auf -1 normiert sein. Zur Parametrisierung der Kurve wird die Eigenzeit längs der Kurve ge­wählt.

Für zeitartige Pfade ist die Eigenzeit gegeben durch:

Ich wähle nun die Anfangsbedingungen und än­de­re die Bezeichnungen:

Die Bewegung, parametrisiert mit der Ei­gen­zeit, ist:

Die Eigenzeit, beziehungsweise die zu­ge­ord­ne­te längs der Bahn mitbewegte Uhr, läuft lang­sa­mer als die Koordinatenzeit, die etwa ein stationärer Beobachter (vx=0) erfährt.

In nicht-relativistischer Näherung wird das zu:


Für lichtartige Pfade verschwindet das Li­ni­en­ele­ment, es gibt es keine Eigenzeit wie für ein massives Teilchen. Das Photon und auch das Neu­tri­no, ...

wenn es denn wirklich masselos ist, durchlebt keine Zeit, die Zeit steht still. Die Eigenschaft ds²=0 ist eine Invariante unter Koordinatentransformationen, die Lichtgeschwindigkeit ist daher ei­ne universelle Konstante für alle Bezugssysteme.

Mit einem noch festzulegenden Parameter ist geo­dä­tische Gleichung:

Als Zwangsbedingung ist dabei zu erfüllen:

Für eine Bewegung auf der x-Koordinatenlinie erhält man ausgeschrieben:

Die Kurve parametrisiert mit der Ko­or­di­na­ten­zeit t ist:


Zeitdilatation: Das Zwillingsparadoxon

Der eine Zwilling wartet, der andere reist. Dann treffen sie sich wieder.

Beide Zwillinge sind mit Uhren ausgestattet und treffen sich im Weltpunkt (0, x1). Der eine Zwilling wartet hier, seine Weltlinie ist die blaue Gerade - der andere bewegt sich auf ge­ra­der Strecke mit der konstanten Ge­schwin­dig­keit vx auf der rötlichen Weltlinie zum Welt­­punkt (0, x2) - bremst abrupt auf halbem Wege, um dann mit der Geschwindigkeit (-vx) zum ab­ge­mach­ten Treffpunkt (0, x3) zu eilen, wo sich beide raumzeitmäßig wieder treffen.

Der wartende Zwilling erfährt die Eigenzeit:

Der andere aber bewegt sich und erfährt eine andere Eigenzeit:

Der wartende Zwilling (1) ist also älter als der weitgereiste Zwilling (2).

Die Situation zwischen den Zwilligen ist nicht symmetrisch, der eine wartet in einem Inertialsystem, der andere reist nicht in einem Inertialsystem, er er muss (hier abrupt) bremsen und beschleunigen!

Reist der Zwilling mit 87% der Lichtgeschwindigkeit c (c=300000 km/s), so ist der Wartende bei der Heimkehr doppelt so alt wie der Heimkehrer.

Dieser großartige Effekt ist im Experiment schlüssig nachgewiesen – heutzutage kann man das schon mit genau gehenden Uhren machen – die eine Uhr fliegt einmal um die Erde, die andere ruht – der gemessene Zeitunterschied entspricht der theoretischen Voraussage.

Oder: Kosmische Strahlen erzeugen in der oberen Atmosphäre der Erde sehr kurzlebige, schnell fliegende Myonen, die ohne diese Zeitdilation die Erdoberfläche nicht erreichen könnten. Sie wer­den aber hier nachgewiesen.


Kugelkoordinaten

Die Minkowsky-Raumzeit soll in Ku­gel­ko­or­di­na­ten beschrieben werden. Ein Punkt P hat die Koordinaten:

Auf hergebrachte Art nimmt man die Ko­or­di­na­ten­funktionen, berechnet die Differentiale und erhält aus dem alten Linienelement das neue :

'(K)' steht für kartesische Koordinaten, '(S)' steht für sphä­rische Koordinaten.


Die nicht-verschwindenden Chri­stof­fel-Sym­bole sind:

Die Minkowsky-Raumzeit ist flach, was in Ku­­gel­­ko­­or­di­na­ten nicht offensichtlich ist.

Die Singularität bei r=0 ist keine Eigenschaft der Minkowsky-Raumzeit, sondern ein Artefakt der Ku­gel­koordinaten, so wie sie hier ver­wendet werden.


Diese Erhaltungsgröße ist sofort ersichtlich, an­­son­­sten ist es einfacher, die schon be­kann­ten Kil­ling-Vektorfelder in sphärische Ko­or­di­na­ten zu transformieren, als das Problem noch einmal an­zu­gehen.




Das Newtonsche Schwerefeld in linearer Näherung

Metrischer Tensor

Der metrische Tensor wird mit einer zu be­stim­menden Funktion parametrisiert, die eine klei­ne Störung der Minkowsky-Metrik dar­stellt.


Christoffel-Symbole

 

     

   

   


Krümmungstensor


Ricci-Tensor


Krümmungssalar



Einstein-Tensor

 


Einsteinsche Gleichung



Energie-Impuls-Tensor

Es wird die Energie-Dichtefunktion kos­mi­schen Staubes als Quelle gewählt.


Poisson-Gleichung


Man erhält in dieser linearen Näherung die klas­­si­sche Poisson-Gleichung:

Für eine rotationsymmetrische Mas­se­ver­tei­lung mit dem Radius R und der Masse M er­hält man das Potential:




Die Schwarzschild-Lösung

Der Metrischer Tensor

    

    

    

    


 

    

    


Der Schwarzschild-Tensor





    

Die Koordinate t wird für (r < 2 GM) raumartig (genauer der Vektor ) und die Koordinate r zeit­ar­tig.



Die Christoffel-Symbole

Wenn die Metrik diagonal ist, gilt:

Hier ist und es wird nicht summiert!



    

    


Der Krümmungstensor



Der Ricci-Tensor

 



Der Krümmungsskalar


Die Schwarzschild-Metrik ist also eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum . Birk­hoffs Theorem besagt, die Schwarzschild-Metrik ist die einzige sphärisch-symmetrische Lösung der Einstein-Gleichung.


Der Lichtkegel

    


    

Diese Singularität ist nur eine Eigenschaft der ge­wählten sphärischen Koordinaten, mit der die Metrik ausformuliert ist, und nicht eine der Schwarz­schild-Raumzeit.

Die skalare, koordinatenunabhängige Größe (Kret­schmann-Skalar) zeigt hinreichend, dass hier für r=0 eine Singularität vorhanden ist, die der Schwarzschild-Raumzeit eigen ist.

Die Schwarzschild-Raumzeit ist asymptotisch flach.


Konstanten der Bewegung

Es gibt vier Killing-Vektoren, der hohen Symmetrie des Problems geschuldet, drei der sphä­ri­schen Symmetry wegen und einer für die Zeit-Translation.

Der zeitartige Killing-Vektor Kμ steht für die Ener­gieerhaltung:

Der Drehimpuls ist nach Größe und Richtung kon­stant, für die Größenerhaltung steht der Kil­ling-Vektor:




Die nicht-relativistische Näherung

Die nicht-relativistische Näherung lässt sich wie folgt charakterisieren:

  • Das Teilchen mit der Masse m bewegt sich 'langsam' gegenüber der Lichtgeschwindigkeit.

  • Das Gravitationsfeld soll 'schwach' sein, es wird als kleine Störung des flachen Min­kows­ky-Raum aufgefasst:

  • Das Gravitationsfeld soll statisch, also zeitunabhängig sein:


Die erste Forderung einer langsamen Be­we­gung be­deutet:

τ ist der Eigenzeit-Parameter.

Die geodätischen Gleichungen vereinfachen sich unter dieser Annahme:

Da das Feld statisch ist, erhält man:

Für die Zeitkomponente wird das zu:

Es wird eine rein radiale Bewegung betrachtet. Für die r-Komponente erhält man:

Zweimal angewendet, ergibt die New­­ton'sche Bewegungsgleichung für ein schwa­­ches Feld:




Die Rotverschiebung im Schwerefeld

Ein Beobachter mit der Vierer-Ge­schwin­dig­keit Uμ sei stationär (Uk=0):

Der Beobachter misst die Frequenz ω eines Pho­tons, welches sich entlang einer licht­ar­ti­gen Bahn xμ(t) bewegt:

Die Frequenz des Photons für den Beobachter ist:

Die Frequenz eines Photons, das im Trep­pen­haus nach oben fliegt, nimmt also ab – man be­­ob­ach­tet eine Rotverschiebung, die mit der Potentialdifferenz einher geht, ein Effekt, der mit dem optischen Dopplereffekt nichts zu tun hat.

 

 

Im Jahre 1960 haben die beiden Physiker Pound und Rebka diese Rotverschiebung mit Gam­ma­strah­len nachgewiesen, die Höhendifferenz entsprach der Höhe des Gebäudes des Phy­si­ka­li­schen In­stituts in Harvard (22 Meter).




Freier Fall zum Ereignis-Horizont

Ein Kosmonaut fällt auf einer radialen Bahn im frei­en Fall auf den Ereignis-Horizont zu:

Die Vierer-Geschwindigkeit ist:

Mit erhält man aus

ein Integral für die Eigenzeit, die der Kos­mo­naut auf seiner Flugbahn bis zum Ereignis-Ho­ri­zont braucht:

Hier wurde für das Vorzeichen der Quadratwurzel das negative gewählt, denn mit wachsendem τ wird r kleiner.

Die Eigengeschwindigkeit des Kosmonauten am Er­eignis-Horizont ist:

Die Zeit, in der der Kosmonaut den Ereignis-Ho­rizont erreicht, ist eine endliche Größe.

Ein stationärer Beobachter 'verfolgt' den fal­len­den Kosmonauten mit seinen Augen – er ver­wen­det die Koordinatenzeit:

Das Integral divergiert – aus Sicht des Be­ob­ach­ters erreicht der Kosmonaut nie den Er­eig­nis-Horizont, denn für ein konstantes In­ter­val dτ wird das Zeitintervall dt des Be­ob­ach­ters immer größer je näher der Beobachter dem Er­eig­nis-Horizont kommt.

Aus Sicht des Beobachters wird der Kos­mo­naut immer langsamer und

– wenn er dem Beobachter mit der Ta­schen­lam­pe Signale schicken würde – immer »blau­er«, die Wellenlänge des Lichts wird immer kür­zer.

Das Licht braucht auch immer länger, um den Be­ob­ach­ter zu erreichen. Aus der Licht­ke­gel-Gleichung folgt für das Photon:




Innerhalb des Ereignis-Horizonts

Ein Ereignis-Horizont ist eine lichtartige Hyperfläche in der Raumzeit, die zwei Bereiche der Raum­zeit voneinander trennt, nämlich jenen Bereich, wo jeder Weltpunkt über zeitartige Pfade mit dem Unendlichen verbunden ist, von jenem Bereich, in dem es keine zeitartige Verbindung mit dem Un­endlichen gibt.

Es ist der Ereignis-Horizont, der das schwarze Loch auszeichnet, er ist Folge der globalen Kau­sal­struk­tur der Raumzeit.

Wegen der sphärischen Symmetrie muss solch ei­ne Hyperfläche – wenn es denn eine gibt – durch eine Gleichung r=const zu beschreiben sein.

Dader Normalenvektor zu Hyperflächen der Art r=const ist, ist der Ereignis-Horizont be­stimmt durch:

Beim Queren des Ereignis-Horizontes wech­seln zwei Komponenten der Metrik ihr Vor­zei­chen, der Ereignis-Horizont selbst ist daher ei­ne lichtartige Hyperfläche

Die r-Koordinate wird innerhalb des Ereignis-Horizontes formal zum Zeitparameter.

Für irgendeine zeit- oder lichtartige Weltlinie folgt dann,

dass die r-Komponente der Vierer-Ge­schwin­digkeit als einzige negative Größe nicht ver­schwinden kann – sich also immer ändern muß. Sie kann auch nicht das Vorzeichen wech­seln. Und es gibt eine untere Grenze für die Än­de­rungsgeschwindigkeit:

Hat der Kosmonaut also den Ereignis-Horizont passiert, geht es unweigerlich nur auf die Sin­gu­la­ri­tät zu. Es gibt nur diesen einen Weg.

Und der Sturz hinab ins schwarze Loch dauert auch nicht ewig:

Die Flugdauer betrüge in einem schwarzen Loch mit 2 Millionen Sonnenmassen höch­stens ge­rade einmal 31 Sekunden.

Diese Einbahnstraße hinein ins schwarze Loch gilt für alle Teilchen, die sich innerhalb des Er­eig­nis-Horizontes befinden. Das schwarze Loch ist nach außen nicht sichtbar, eben schwarz.




Kruskal-Koordinaten

Es gibt einen Satz Koordinaten, die Kruskal-Koordinaten , in dem die resultierende Me­trik die gesamte Schwarzschild-Raumzeit 'elegant' darstellt.

Potential mit

Regge-Wheeler -Schildkröten-Koordinate

(Lichtkegel-Koordinaten)


 

 

Wertebereich

Kruskal-Koordinaten

    

Wertebereich

    

Ausgangskoordinaten r, t

Die radialen Lichtkegel verlaufen in einem kon­stanten Winkel von +/- 90°:

Der Ereignis-Horizont ist gegeben durch:

Das sind zwei Geraden durch den Nulllpunkt. Der Ereignis-Horizont ist nicht mit einer Sin­gu­larität verhnüpft.

Die Hyperflächen r=const sind gegeben durch:

Die Hyperflächen t=const sind gegeben durch:

Für wird die letzte Gleichung zu:

Daher stellen die Flächen ebenfalls den Er­ei­gnis-Horizont dar.

Der SciLab-Quellcode der Transformationen - als pdf-Datei zum Anschauen

r,t => R,T           R,T => r,t


Kruskal-Diagramm für die Schwarzschild-Raumzeit



Die Schwarzschild-Raumzeit wird in einem T-R-Diagramm dargestellt. Jeder Punkt in dem Dia­gramm steht für eine zweidimensionale Sphäre mit dem Radius r.

Die Punkte »nördlich« und »südlich« der schwarzen Hyperbeln (r = 0) und die Hyperbeln selbst ge­hö­ren nicht zur Raumzeit.

Die in die Zukunft gerichtete Lichtkegel öffnen sich überall nach »Norden« mit dem festen Winkel 90°.

Die beiden roten Geraden bilden den Ereignis-Horizont, sie teilen die Schwarzschild-Raumzeit in vier Bereiche ein.

Der Bereich I ist der bekannte Heimat-Bereich des Kosmonauten mit (r > 2 GM).

In die Zukunft gerichtete zeit- oder lichtartige Weltlinien führen aus dem Bereich I in den Bereich II, dem Innenbereich des Ereignis-Horizonts. Der Bereich II hat eine Singularität in der Zukunft . Innerhalb des Bereiches II führen alle Wege in die Singularität.

Rückwärts in der Zeit gerichtete zeit- oder lichtartige Weltlinien führen aus dem Bereich I in den Be­reich IV. Aus dem Bereich IV kann man also in den Bereich I gelangen – aber nicht umgekehrt.

Der Bereich IV hat eine Singularität in der Vergangenheit . Aus diesem Bereich kann nur et­was herauskommen, aber nichts hinein gelangen.

Die beiden Bereiche I und III sind nicht über zeit- oder lichtartige Pfade verbunden, es gibt nur ei­ne Ver­bindung über raumartige Weltlinien. Niemand kann „uns“ im Bereich I aus dem Bereich III be­suchen und auch umgekehrt gibt es keinen Verkehr.

Die beiden Bereiche I und III sind asymptotisch flach.

Die beiden Bereiche I und III sind über ein raumartiges Wurmloch (Einstein-Rosen-Brücke) ver­bun­den. Man denke sich etwa horizontale Schnitte T=const im Kruskal-Diagram und breite die Win­kelkoordinaten aus. Für gibt es keine Verbindung, mit beginnt sich ein Schlauch zu öff­nen, der sich bis zum Punkt im Radius weitet, an dieser Stelle beträgt der Schlauch­radius dann maximal .

Der Bereich III ist eine Spiegelwelt zu Bereich I. Der Bereich IV ist eine zeitgespiegelt Welt des Bereiches I.

Ein schwarzes Loch mit der Masse der Sonne hat einen Schwarzschild-Radius von knapp 1,5 km; im Zen­trum der Milchstraße vermuten Astronomen ein massives schwarzes Loch mit zwei Mil­lio­nen Sonnenmassen.

Ein schwarzes Loch mit einem Ereignis-Horizont von einem Meter (1 m) braucht eine Masse von 6,7 104 kg, packt man diese Masse in eine Kugel mit dem Radius 10 cm, ergibt das eine Dichte von 1,6 107 kg/m3.


Ich mache nun einen kurzen Schnitt ins Kruskal-Diagramm und schaue mir für einige konstante Krus­kal-Zeiten T=const das R-Intervall [-3,3] an.



T=0,001


T=0,001

Geht R gegen T=0+, so geht die Schwarz­schild-Zeit t gegen +∞. um dann von -∞ wie­der ins Endliche zu kommen.

Die maximale Wurmloch-Öffnung wird für R=0 er­reicht mit dem Schwarzschild-Radius r=2GM.



T=0,001

 

Geht R gegen 0+, so wird die Wegstrecke kurz lichtartig.

 


T=0,500


T=0,500

Geht R gegen T=0,5, so geht die Schwarz­schild-Zeit t gegen +∞.

Die Wurmloch-Öffnung wird kleiner.



T=0,999


T=0,999

Geht gegen T=0,999, so geht die Schwarz­schild-Zeit t gegen +∞.

Die Wurmloch ist fast geschlossen.




Anhang – Etwas Differentialgeometrie

Mannigfaltigkeit

M sei eine differentierbare m-dimensionale Man­nig­faltigkeit, ausgestattet mit einem Atlas von Karten Ki und Ko­or­di­natenfunktionen φi. x sind die kar­te­si­schen Koordinaten eines Punktes p.


Die Menge der reellwertigen Funktionen auf M wird genannt.


Beispiel Kreis

U1 und U2 bilden eine offene Überdeckung des Kreises S1.

Die Koordinatenfunktionen φ1 und φ2 sind Homeomorphismen, die Ko­or­di­na­ten­trans­for­ma­tio­nen φ12 und φ21 sind glatte Funktionen. ( φk,Uk) sind 2 Karten auf S1 und {( φk,Uk)} bildet den Atlas.


Tangentenvektor

Der Tangentenvektor im Punkt p = γ(0) ist de­fi­niert als die Richtungsableitung einer Funk­tion f(γ(t)) entlang der Kurve γ an der Stelle t=0.


Die Änderungsrate von f(γ(t)) entlang der Kur­­ve ist an der Stelle t = 0 :

In lokalen Koordinaten sind das die Kom­po­nen­ten:

Man beachte die verkürzte Schreibweise:


lässt sich also erhalten, in­dem man einen Differentialoperator X auf eine Funk­tion f anwendet, wobei:

mit

Das heißt:

Diese Gleichung definiert X[f].


Es ist die Größe, die als Tangentenvektor definiert ist - im Punkt p = γ(0) entlang der Rich­tung, die durch die Kurve γ(t) gegeben ist.


Wendet man den Operator X auf die Ko­or­di­na­ten­funktionen an, ergibt sich:


Tangentenraum

Alle Tangentenvektoren an einem Punkt p bilden einen Vektorraum, den Tangentenraum von M am Punkt p, genannt TpM.

Die Basisvektoren des m-dimensionalen Tan­gen­ten­raumes sind:

Diese Basis wird Koordinatenbasis genannt. Die Komponenten eines Tangentenvektors be­zo­gen auf diese Basis sind:


Kotangentenraum

Da TpM eine Vektorraum ist, gibt es einen dualen Vektotraum T*pM, seine Elemente sind die li­nea­ren Abbildungen von TpM in die reellen Zahlen.

Die dualen Vektoren werden Eins-Formen ge­nannt.

Das Differential df einer Funktion f ist eine Eins-Form.

Die Aktion eines Vektors V auf f ist V[f] :

Die Aktion von df auf einen Vektor V ist de­fi­niert durch:

Drückt man df in Koordinaten aus, erhält man die Kom­ponenten des Differential bezogen auf die Basis {dxμ} – die natürliche Ko­or­di­na­ten­basis für den Kotangentenraum.

Die Komponenten einer beliebigen Eins-Form sind:


Tensoren

Ein Tensor vom Typ (q,r) ist eine multilineare Grö­ße, die q Elemente des Ko­tan­gen­ten­rau­mes und r Elemente des Tangentenraumes auf reelle Zah­len abbildet.

Wird jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Ten­­sor zugeordnet, erhält man ein Tensorfeld.



Pseudo-Riemannsche Metrik

Ein Tensorfeld g vom Typ (0,2) ist eine Pseu­do-Riemannsche Metrik, wenn für jeden Punkt p der Mannigfaltigkeit gilt:


Inneres Produkt

Mittels der Metrik lässt sich ein inneres Pro­dukt für zwei Vektoren definieren:

Die Metrik definiert eine lineare Abbildung , diese lässt sich als Eins-Form auf­fas­sen:

Entsprechend induziert eine Eins-Form einen Vek­tor:

Mittels der Metrik g lässt sich also ein Isomorphismus zwischen und herstellen.

In der Koordinatenbasis hat der metrische Ten­­sor die Komponenten:

wie wird traditionsgemäß als Matrix auf­­ge­­fasst, p wird meist weggelassen.

Der Isomorphismus zwischen und kann nun über die Metrik so ausgedrückt wer­den:

Da die Matrix symmetrisch ist, sind ihre Eigenwerte alle reell; im Falle einer Rie­mann­schen Me­­trik sind alle Eigenwerte positive, im Falle einer Pseudo-Riemannschen Metrik sind i Werte po­si­tiv und j Werte (j>0) negativ, das Paar (i,j) heißt Index der Metrik. Ist j=1 heißt die Metrik Lo­rentz-Metrik, durch ein geeignetes Skalieren erhält man im letzteren Falle die Minkowsky-Me­trik η=diag(-1, 1, …,1).


Affine Zusammenhänge

Die Menge der Vektorfelder auf einer m-di­men­sio­nalen Mannigfaltigkeit M sei so be­zeich­net:

Definition: Ein affiner Zusammenhang sei als Ab­bil­dung wie folgt definiert:

oder

mit folgenden Eigenschaften:


Zusammenhangskoeffizienten

Mit der Koordinatenfunktion φ auf M ist die Ko­or­di­natenbasis des Tangentenraumes ge­ge­ben durch:


Die m³ Zusammenhangskoeffizienten legen fest, wie sich die Basisvektoren des Tan­gen­ten­raumes von Punkt zu Punkt ändern:


Mit zwei Tangentenvektoren wird:

Man beachte, das ist nicht die ko­va­ri­an­te Ableitung einer Komponente, sondern die λ-Kom­po­nente eines Vektors ist.


Parallelverschiebung

Eine Kurve γ sei gegegen, der Einfachheit hal­ber genüge eine Karte (U, φ) zur ihrer Ab­de­ckung.

X sei ein Vektorfeld, dass zumindenst entlang γ(t) de­finiert sei:

V sei der Tangentenvektor an γ(t):

Es wird gesagt, der Vektor V sei entlang der Kur­ve γ(t) parallel verschoben, wenn gilt:

In Komponenten ausgeschrieben ist das:


Geodätische Kurven

Eine Kurve γ(t) heißt geodätische Kurve, wenn der Tangentenvektor V selbst entlang der Kur­ve parallel verschoben ist:

In Komponenten – wenn {xμ} die Kom­po­nen­ten von γ(t) sind:


Kovariante Ableitungen

Für eine Funktionist das die ge­wöhn­liche Richtungsableitung.

Für ein Tensorfeld gilt:


Für eine Eins-Form ω gilt mit einem Vek­torfeld Y:

In Komponenten ist das:

Und mit:

Und mit:


Metrische Zusammnehänge

M sei eine Mannigfaltig, ausgestattet mit einer Metrik g. Eine Metrik wird Kovariant konstant ge­­nannt, wenn gilt: Werden zwei Vektoren X und Y entlang irgendeiner Kurve parallel ver­scho­ben, so soll das innere Produkt der beiden Vektoren unter diesem Transport erhalten blei­ben, al­so kon­stant sein. Sei V ein Tangentenvektor an einer Kurve, dann soll also gelten:

Der affine Zusammenhang wird dann metrik-kompatibel genannt.


Torsionstensor

Der Torsionstensor ist wie folgt definiert:

T ist antisymmerisch:


Der Riemannsche Krümmungstensor

Der Riemannsche Krümmungstensor ist wie folgt definiert:

Diese Schreibweise ist Konvention:

T ist antisymmerisch in den ersten beiden Ar­gumenten:


Der Levi_Civita-Zusammenhang

Ein affiner Zusammenhang heißt sym­me­tri­scher Zu­sam­men­hang, wenn der Tor­si­ons­ten­sor überall ver­schwin­det, dann gilt:

Fundamentaler Satz der Riemannschen Geometrie: Auf einer Mannigfaltigkeit (M, g) gibt es ge­nau einen sym­metrischer Zusammenhang, der kompatibel mit der Metrik g ist. Dieser Zu­sam­men­hang heißt Le­vi-Civita-Zusammenhang.

Im folgenden wird angenommen, dass die Mannigfaltigkeit (M, g) mit dem Levi-Civita-Zu­sam­men­hang ausgestattet ist.

Das Christoffel-Symbol für den Levi-Civita-Zu­sam­menhang ist:


Wenn die Metrik diagonal ist, gilt:

Hier ist und es wird nicht summiert!


Der Riemannsche Krümmungstensor mit Levi-Civita-Zusammenhang

Die Komponenten des Rie­mann­schen Krüm­mungs­ten­sors be­zo­gen auf dem Levi-Civita-Zu­­sam­­men­­hang sind:


Die Bianchi-Identitäten

Der Krüm­mungstensor erfüllt die Bi­anchi-Identitäten 1 und 2:

In Komponenten aus­ge­schrie­ben:


Der Ricci-Tensor und die skalare Krümmung

Die beiden Tensoren werden über den Riemannschen Krümmungstensor mittels In­dex­kon­trak­tion ge­wonnen.

Der Ricci-Tensor ist:

Die skalare Krümmung ist:


Der Einstein-Tensor

Die zweite Bianchi-Identitäten ist:

Zieht man die Indizes σ und μ zusammen, er­hält man:

Zieht man die Indizes λ und ν zusammen, er­hält man:

Der Einstein-Tensor ist:

Und in Komponenten:


Induzierte Abbildungen

Eine glatte Abbildung f zwischen zwei Man­nigfaltigkeiten induziert auf natürliche Wei­se eine Abbildung f* zwischen den Tan­gen­tenräumen. f* wird Differentialabbildung ge­nannt:

Mit einem Vektorfeldwird nundefiniert durch:

Mit zwei Karten auf M und N, den zu­ge­hö­ri­gen Ko­or­dinatenfunktionen

sowie mit einem Vektorfelderhält man:

Oder in Komponenten ausgeschrieben,

erhält man:

Mit ergibt sich ein einfacher Zu­sam­menhang zwischen V und W über die Ja­co­bi­sche Matrix der Abbildung f:


Eine Abbbildung f induziert eine weitere Ab­bil­dung f* ('pullback') zwischen den Ko­tan­gen­tenräumen, man beachte die Richtung der Ab­bildung:

Mitund ist sie definiert durch:

Mit und

erhält man die Komponentendarstellung mit der Ja­cobi-Matrix:


Beispiel – Induzierte Metrik

Die Einheitssphäre S² ist in den Punkteraum mit der Metrik g eingebettet. Auf S² sind die Ko­or­dinaten xμ gegeben, im Punkteraum die Ko­or­dinaten yα:

Die Einbettung von S² wird durch die Ab­bil­dung Φ beschrieben

mit der Matrix ihrer partiellen Ableitungen:

Die Metrik auf S² wird durch den Rückzieher Φ* aus der Punktemetrik g gewonnen:

Eine saubere Rechnung! Die induzierte Metrik auf S² ist:


Symmetrien

Sei (M,g) eine (pseudo-)Riemannsche Man­nig­faltigleit. Ein Diffeomorphismus f ist eine Sym­metrie eines Tensors T, wenn T invariant un­ter der 'pullback'-Operation f* ist:

Oft ist der Symmetrie eine parametrisierte Familie von Diffeomorphismen fs zugeordnet, die durch ein Vektorfeld X erzeugt wird. Dann gilt:


Isometrien

Sei (M,g) eine (pseudo-)Riemannsche Man­nig­faltigleit. Eine Abbildung f ist eine Iso­me­trie, wenn f die Metrik erhält:

Das heißt, es gilt für :

Sind x und y die Komponenten von P und f(P), so erhält man in Komponenten:


Killing-Vektorfelder

Sei X ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g). Wenn eine infinitesimale Ver­schiebung εX eine Isometrie erzeugt, wird X ein Killing-Vektorfeld genannt.

Die Koordinaten xμ eines Punktes P ändern sich unter dieser Verschiebung zu:

Das Vektorfeld X und die Metrik g erfüllen dann die Killing-Gleichung, hier mit der Lie-Ab­leitung formuliert:

Das Vektorfeld X erzeugt eine einparametrige Schar von Transformationen Φs. Die letzte Glei­chung besagt dann, dass sich die lokale Geometrie nicht ändert, wenn man sich entlang Φs be­wegt.

Und die Killing-Gleichung mit der Le­vi-Ci­vi­ta-Ver­­knüpfung formuliert, lautet:

Seien X und Y zwei Killing-Vektorfelder und . Dann gilt:

Eine lineare Kombination von zwei Killing-Vektorfelder ist wieder ein Killing-Vektorfeld, eben­­so wie der Kommutator zweier Killing-Vektorfelder. Alle diese Killing-Vektorfelder for­men eine Lie-Algebra der Symmetrie-Operationen auf der Mannigfaltigkeit.


Konstanten der Bewegung

Isometrien führen zu Erhaltungsgrößen, wenn sich Probeteilchen auf der geodätischen Flug­bahn xμ(τ) bewegen.

Die geodätische Gleichung lässt mit dem Vie­rer-Impuls wie folgt ausschreiben:

Ist nun Kμ ein Killing-Vektorfeld,

so gilt:

Und längs der geodätischen Bahn ist somit die Grö­ße (p K) erhalten:


Hodge-Dualität

Der total antisymmetrische Tensor ε ist für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit (M,g) definiert durch:

Es gilt:

Der Vektorraum der m-Formenist isomorph zum Vektorraum der (n-m)-Formen.

Der Hodge '*'-Operator ist eine lineare Ab­bil­dung,

deren Wirkung auf einen Basisvektor vondefiniert ist durch:

Für die r-Differentialformergibt sich dann:

Es fasziniert mich immer wieder, *1 ist das n-di­mensionale invariante Volumenelement:

Die inverse Abbildung des Stern-Operators ist:

Wobei κ=0 für eine Riemannsche und κ=1 für ei­ne Lorentz-Mannigfaltigkeit ist.

ist die identische Abbildung auf:


Inneres Produkt von m-Formen

Für zwei r-Formen ist:

Das Produkt ist symmetrisch:

Das symmetrische innere Produkt der beiden m-Formen ist durch ein Integral definiert:


Adjungierte äußere Ableitung

d ist der Operator der äußeren Ableitung:

d ist der adjungierte Operator der äußeren Ableitung:

Wobei κ=1 für eine Riemannsche und κ=0 für eine Lorentz-Mannigfaltigkeit gilt.

d ist nilpotent:

Sei (M,g) eine m-dimensionale kompakte ori­en­tierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand, dann gilt:

Der Laplace-Operator Δ ist definiert durch:


Maxwellsche Gleichungen

Das elektromagnetische Potential A ist eine 1-Form:

Der elektromagnetische Feldtensor ist das Dif­fe­rential des Potentials A:

Mit der elektrischen Ladungsdichte ρ und der elek­trischen Stromdichte j wird die 1-Strom-Form j definiert:

Die Maxwellschen Gleichungen sind nun:

Die Lorentz-Bedingung für A ist:

Aus wird dann:


Lokal-triviale Faserungen

E, M, F seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten. E ist der Totalraum, B ist die Basis oder Ba­sis­raum, F ist der Fasertyp. Die Strukturgruppe G sei eine Lie-Gruppe, die von links auf F wirkt.

Das Tupel (E,π ,B; F,G) heißt differenzierbares Faserbündel, wenn gilt:

Die glatte surjektive Abbildung π ist die Pro­jek­tion (Fußpunktabbildung) vom Totalraum E auf die Basis:

Das inverse Abbild Fp heißt Faser über p:

Sei {Ui} eine offene Überdeckung von M mit Dif­feomorphismen ϕi. Das Paar heißt Bündelkarte oder lokale Trivialisierung über Ui.

Die Abbildungen ϕi,p sind Diffeomorphismen:

Die glatten Abbildungen ϕik heißen Über­gangs­funktionen , es sind Elemente der Lie-Gruppe G:

Die Abbildungen ϕi und ϕk sind dann wie folgt über die Übergangsfunktionen verbunden:

Zwei Elemente fi und fk von F sind wie folgt de­­finiert:

Es gilt dann der Zusammenhang:


Die Übergangsfunktionen müssen die fol­gen­den Konsistenzbedingungen (Co­zy­klus­be­din­gungen) erfüllen:


Gegeben seien 2 Bündelkarten:

Die Übergangsfunktionen sind:

Für jeden Punkt sei ein Ho­meo­mor­phis­mus gi(p) definiert, der zu G gehört:

Die Übergangsfunktionen erfüllen dann:


Ein Schnitt s eines Bündels ist eine stetige Ab­bil­dung, die die Bedingung erfüllt:

Es ist die Abbildung jedes Punktes der Basis in sei­ne Faser.

Die Menge aller Schnitte auf B wird mit Γ(B,F) bezeichnet.


Lokal-triviale Faserungen - Beispiel

E, B, F seien differenzierbare Man­nig­fal­tig­kei­ten. E ist der Totalraum, M ist die Basis oder Basisraum, F ist der Fasertyp.

    

Die glatte Abbildung π ist die Projektion vom To­tal­raum E auf die Basis:

Die Strukturgruppe G ist:


U1,2 sind eine offene Überdeckung des Kreises S1 mit den beiden Trivialisierungen ϕ1 und ϕ2:

    

Die offene Teilmenge A deckt den offenen obe­ren Halbkreis von S1 ab , die offene Teilmenge B den unteren Halbkreis:

    

    

Auf A werden die Bündelkarten wie folgt ge­wählt:

         

    

Die Übergangsfunktion ist die Identität:

Auf B stehen für die Bündelkarten zwei Mög­lich­keiten zur Wahl:

         

Fall I) Man erhält das triviale Bündel als vertikalen Zylinder. 'e' ist die identische Abbildung der Lie-Gruppe G.

    

    

Fall II) Man erhält ein nicht-triviales Bündel, das Möbius-Band mit der diskreten Struk­tur­grup­pe.

Hinweis: Die zyklische Gruppe Z2 ist keine Lie-Gruppe.

    

         


Das eingebettete Möbius-Band

Das Möbius-Band mit dem mitt­le­ren Radius R und der halben Brei­te b wird in der Höhe z=0 in den R³ eingebettet:

    

Basis M:

Totalraum E:

Projektion π:

Fasern:

    



Möbius-Band


Möbius-Band



Seitenwechsel - Von Außen nach Innen


z-Werte gegen phi für verschiedene s-Werte



x-Werte gegen phi für verschiedene s-Werte


y-Werte gegen phi für verschiedene s-Werte


So einfach kann man sich ein Möbius-Band mit ei­ner kleinen Drehung aus einem längeren Pa­pier­streifen basteln – die Pfeile müssen zur De­ckung gebracht werden.






Literatur

Sean Carroll
Spacetime and Geometry
An Introduction to General Relativity

Addison Wesley, 2004
 

Mikio Nakahara
Geometry, Topology and Physics
Institut of Physics Publishing, 2003
 

Prof. Dr. Haye Hinrichsen
Allgemeine Relativitätstheorie
Skript zur Vorlesung
Universität Würzburg, 2013

http://www.physik.uni-wuerzburg.de/~hinrichsen/teaching/Skripte/art.pdf


Sanjeev S. Seahra
An Introduction to Black Holes
2006

http://www.math.unb.ca/~seahra/resources/notes/black_holes.pdf

Ein hervorragendes Papier zum Thema, präzise, umfassend – es macht eigentlich alle übrigen Ausführungen überflüssig.




© 2014 Bernd Ragutt
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 ... hier kann man hinschreiben letzte Änderung: 13. August 2015
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